Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к квадратным уравнениям.
Равенство |y| = |x² − 2x| равносильно совокупности y = x² − 2x или y = −x² + 2x. Из первого уравнения системы y = a − x.
Подставляя это выражение в каждую ветвь, получаем соответственно x² − x − a = 0 и x² − 3x + a = 0. Каждому различному допустимому x соответствует ровно одно значение y = a − x.
Дискриминанты равны D₁ = 1 + 4a и D₂ = 9 − 4a.
б) Учёт общих решений двух ветвей.
Один корень может учитываться дважды, только если x² − 2x = −x² + 2x. Отсюда 2x(x − 2) = 0, то есть x = 0 или x = 2; в обоих случаях y = 0.
Точка (0; 0) принадлежит прямой x + y = a только при a = 0, а точка (2; 0) — только при a = 2. При остальных параметрах общих решений ветвей нет.
в) Разбор всех значений параметра.
Если a < −1/4, то D₁ < 0, D₂ > 0: первое квадратное уравнение не имеет корней, второе имеет два. Система имеет ровно два решения.
Если a = −1/4, то D₁ = 0, D₂ > 0. Общих решений нет, поэтому получаем 1 + 2 = 3 решения.
Если −1/4 < a < 9/4, оба дискриминанта положительны. При a ≠ 0 и a ≠ 2 получаем четыре различных решения.
При a = 0 или a = 2 ровно одно решение принадлежит обеим ветвям, поэтому число различных решений равно 2 + 2 − 1 = 3.
Если a = 9/4, то D₁ > 0, D₂ = 0. Общих решений нет, поэтому получаем 2 + 1 = 3 решения.
Если a > 9/4, то D₁ > 0, D₂ < 0: первое квадратное уравнение имеет два корня, второе не имеет корней. Система имеет ровно два решения.
Ответ: a ∈ (−∞; −1/4) ∪ (9/4; +∞).