Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № 6854C0

а) Равносильное преобразование системы.
Подставим y = 3x + a. Подкоренное выражение равно x + a + 12, поэтому ОДЗ: x ≥ −a − 12.
Первое уравнение принимает вид (3x² + (a − 2)x + 12)√(x + a + 12) = 0.
Обозначим h = −a − 12 и P(x) = 3x² + (a − 2)x + 12.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда x = h либо P(x) = 0 при x ≥ h.
Значение x = h всегда даёт одно решение системы. Каждому x соответствует единственное y.
Значит, ровно два различных решения получаются тогда и только тогда, когда P(x) имеет ровно один различный корень на промежутке (h; +∞).

б) Случаи неположительного дискриминанта.
D = (a − 2)² − 144 = (a − 14)(a + 10). При −10 < a < 14 корней у P(x) нет, поэтому эти параметры не подходят.
При D = 0 возможны a = −10 и a = 14; единственный корень равен x₀ = (2 − a)/6.
При a = −10 имеем x₀ = 2 > h = −2; при a = 14 имеем x₀ = −2 > h = −26. Оба значения подходят.

в) Случай D > 0.
Пусть корни P(x) равны r₁ < r₂. Ровно один из них строго больше h тогда и только тогда, когда r₁ ≤ h < r₂.
Если r₁ < h < r₂, то P(h) < 0, поскольку старший коэффициент положителен; верно и обратное.
Вычислим: P(h) = 2a² + 62a + 468 = 2(a + 18)(a + 13).
По методу интервалов P(h) < 0 при −18 < a < −13. На всём этом промежутке D > 0, поэтому все его значения подходят.
Остаются граничные случаи P(h) = 0: a = −18 и a = −13.
При a = −18 имеем h = 6, P(x) = 3x² − 20x + 12; его корни 2/3 и 6. Корней строго больше h нет, параметр не подходит.
При a = −13 имеем h = 1, P(x) = 3(x − 1)(x − 4). Только корень 4 строго больше h, параметр подходит.
Если P(h) > 0, точка h лежит вне отрезка между корнями, поэтому строго справа от неё находятся либо оба корня, либо ни одного. Других подходящих параметров нет.

Ответ: a ∈ (−18; −13] ∪ {−10; 14}.