Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование системы.
ОДЗ: x ≤ 3. Поскольку xy² − 3xy − 3y + 9 = (y − 3)(xy − 3), первое уравнение равносильно совокупности условий: x = 3, или y = 3, или xy = 3, при x ≤ 3.
Ищем пересечения этих трёх множеств с прямой y = ax, учитывая совпадения точек.
При x = 3 всегда получаем одну точку P = (3; 3a).
При y = 3 и a ≠ 0 получаем точку Q = (3/a; 3). Условие 3/a ≤ 3 выполняется при a < 0 или a ≥ 1. При a = 0 такой точки нет.
При xy = 3 получаем ax² = 3. При a ≤ 0 решений нет; при a > 0 возможны x = ±√(3/a).
Отрицательный корень всегда удовлетворяет ОДЗ, а положительный — только при √(3/a) ≤ 3, то есть при a ≥ 1/3.
б) Совпадения точек.
Точки P и Q совпадают при 3a = 3, то есть только при a = 1.
Точка P лежит на гиперболе xy = 3 при 3 · 3a = 3, то есть только при a = 1/3.
Точка Q лежит на гиперболе при (3/a) · 3 = 3, то есть только при a = 3.
Две точки гиперболы при a > 0 различны, поскольку их абсциссы имеют разные знаки. Других совпадений нет.
в) Подсчёт различных решений.
При a < 0 имеются две точки P и Q; при a = 0 — только P.
При 0 < a < 1/3 имеются P и одна точка гиперболы: всего две.
При a = 1/3 положительная точка гиперболы совпадает с P: всего две.
При 1/3 < a < 1 точка Q отсутствует, а P и обе точки гиперболы различны: всего три.
При a = 1 точки P и Q совпадают, обе точки гиперболы отличны от них: всего три.
При a > 1 имеются четыре точки, кроме случая a = 3, когда Q совпадает с одной точкой гиперболы и остаются три различных решения.
Ответ: a ∈ (1/3; 1] ∪ {3}.