Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет четыре различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование.
Правая часть должна быть неотрицательной: x ≥ −a. При этом исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
x² − 8x + a² − 6a = 0 или x² − 4x + a² − 2a = 0, каждое при x ≥ −a.
Обозначим их левые части через P(x) и Q(x). Каждое уравнение имеет не более двух корней.
Общий корень возможен только при 2x + 2a = 0, то есть x = −a. Поэтому для четырёх различных корней каждое уравнение должно иметь два различных корня строго правее −a.
б) Условия расположения корней.
Для квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом 1 оба различных корня лежат правее точки c тогда и только тогда, когда дискриминант положителен, вершина правее c и значение в точке c положительно.
Действительно, при положительном дискриминанте положительное значение означает, что c лежит вне промежутка между корнями; положение вершины исключает расположение c правее обоих корней.
Вершины P и Q имеют абсциссы 4 и 2. Поэтому нужны 4 > −a и 2 > −a, вместе дающие a > −2.
Четверти дискриминантов равны 16 + 6a − a² и 4 + 2a − a². Их положительность даёт соответственно −2 < a < 8 и 1 − √5 < a < 1 + √5.
Кроме того, P(−a) = Q(−a) = 2a(a + 1), поэтому требуется a(a + 1) > 0, то есть a < −1 или a > 0.
в) Пересечение условий и границы.
Интервал (1 − √5; 1 + √5) содержится в (−2; 8), поэтому все условия вместе дают a ∈ (1 − √5; −1) ∪ (0; 1 + √5).
На этих промежутках каждая пара корней лежит строго правее −a, а общих корней нет, следовательно, получаются ровно четыре различных корня.
При a = 1 ± √5 уравнение Q(x) = 0 имеет двойной корень; при a = −1 или a = 0 уравнения имеют общий корень x = −a. Четырёх различных корней на границах нет. Остальные значения исключены необходимыми условиями пункта б).
Ответ: a ∈ (1 − √5; −1) ∪ (0; 1 + √5).