Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Найдём необходимые ограничения.
Пусть система имеет решение x ∈ [1; 2]. Из x + a > 0 следует a > −x ≥ −2, поэтому a > −2.
Из второго неравенства получаем a² ≤ 6x − x².
При 1 ≤ x ≤ 2 выполняется 8 − (6x − x²) = (2 − x)(4 − x) ≥ 0, следовательно, 6x − x² ≤ 8.
Значит, a² ≤ 8, то есть −2√2 ≤ a ≤ 2√2.
Совмещая ограничения, получаем необходимое условие: −2 < a ≤ 2√2.
б) Докажем достаточность.
Для любого a ∈ (−2; 2√2] выберем x = 2, принадлежащее отрезку [1; 2].
Первое неравенство: 2 ≤ 2a + 6 равносильно a ≥ −2 и выполняется.
Второе неравенство: 12 ≥ 4 + a² равносильно a² ≤ 8. Оно выполняется, поскольку −2 < a ≤ 2√2.
Третье неравенство: 2 + a > 0 выполняется в силу a > −2.
Следовательно, при каждом найденном значении параметра система имеет подходящее решение x = 2. Точка a = −2 исключается строгим неравенством, а a = 2√2 включается.
Ответ: a ∈ (−2; 2√2].