Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Раскроем модуль.
При x ≥ a/7 получаем x² − 8x + a² − 6a = 0, то есть (x − 4)² = 25 − (a − 3)².
При x < a/7 получаем x² + 6x + a² − 8a = 0, то есть (x + 3)² = 25 − (a − 4)².
Условия на x разделяют числовую прямую, поэтому каждый корень учитывается ровно один раз.
б) Исследуем расположение корней.
Первое квадратное уравнение имеет действительные корни только при −2 ≤ a ≤ 8, второе — только при −1 ≤ a ≤ 9. Вне [−2; 9] решений нет.
Обозначим c = a/7. Значение обеих квадратных трёхчленов в точке c равно 50a(a − 7)/49.
При −2 ≤ a ≤ 9 выполняется −3 < c < 4: вершина первой параболы правее c, вершина второй — левее c.
Если 0 < a < 7, значение в c отрицательно. Точка c лежит между корнями каждого трёхчлена, поэтому каждое из двух уравнений даёт ровно один допустимый корень. Всего два корня.
Если a < 0 или a > 7, значение в c положительно. При наличии двух корней первого уравнения оба лежат правее c, а второго — левее c. Следовательно, все действительные корни соответствующих уравнений допустимы.
При a = 0 или a = 7 точка c является общим корнем двух трёхчленов. Кроме неё, первое уравнение даёт один корень правее c, второе — один левее c. Всего три различных корня.
в) Подсчитаем корни для остальных значений параметра.
При a < −2 или a > 9 корней нет; при a = −2 или a = 9 имеется один корень.
При −2 < a < −1 первое уравнение даёт два корня, второе — ни одного; при 8 < a < 9 второе даёт два корня, первое — ни одного.
При a = −1 или a = 8 одно уравнение даёт два корня, другое — один: всего три.
При −1 < a < 0 или 7 < a < 8 каждое уравнение даёт по два корня: всего четыре.
Таким образом, все значения параметра рассмотрены.
Ответ: a ∈ (−2; −1) ∪ (0; 7) ∪ (8; 9).