Найдите все значения , при которых уравнение
имеет единственный корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и преобразование уравнения.
ОДЗ: x + 2a > 0. Ищем корни только на отрезке 0 ≤ x ≤ 1.
Перенесём правую часть влево и применим формулу разности квадратов: (2 ln(x + 2a)) · 4x = 0.
На ОДЗ это равносильно совокупности x = 0 или ln(x + 2a) = 0.
Первый возможный корень x = 0 допустим тогда и только тогда, когда a > 0.
Второй возможный корень: x + 2a = 1, то есть x = 1 − 2a. Для него ОДЗ выполняется автоматически, а принадлежность отрезку равносильна 0 ≤ 1 − 2a ≤ 1, то есть 0 ≤ a ≤ 1/2.
б) Разбор всех случаев параметра.
При a < 0 первый корень недопустим, а второй больше 1. Корней на отрезке нет.
При a = 0 первый корень недопустим, а второй равен 1. Имеется единственный корень.
При 0 < a < 1/2 имеются два различных корня: 0 и 1 − 2a > 0.
При a = 1/2 оба выражения для корней дают x = 0, который удовлетворяет ОДЗ. Значит, корень единственный.
При a > 1/2 корень x = 0 допустим, а 1 − 2a < 0 лежит вне отрезка. Значит, корень единственный.
Ответ: a ∈ {0} ∪ [1/2; +∞).