На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: .
а) Можно ли получить сумму 132, если ?
б) Можно ли получить сумму 132, если ?
в) Для скольких значений можно получить сумму 132?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Каждое слагаемое состоит из единиц и не превосходит 132, поэтому возможны только числа 1, 11 и 111. Обозначим их количества через a, b и c. Тогда a + 11b + 111c = 132, а число записанных единиц n = a + 2b + 3c.
а) Возьмём восемь слагаемых 11 и сорок четыре слагаемых 1. Их сумма равна 8 · 11 + 44 = 132, а единиц использовано 8 · 2 + 44 = 60. Ответ: да.
б) Вычитая равенства для суммы и количества единиц, получаем 132 − n = 9b + 108c = 9(b + 12c).
Следовательно, 132 − n должно делиться на 9. При n = 80 получаем 52, которое на 9 не делится. Ответ: нет.
в) Поскольку 2 · 111 > 132, возможны только случаи c = 0 и c = 1.
Если c = 0, то a = 132 − 11b ≥ 0, поэтому b принимает все целые значения от 0 до 12. Получаем n = 132 − 9b: это 13 различных значений от 132 до 24 с шагом 9. Каждое реализуется соответствующими неотрицательными количествами a и b.
Если c = 1, то a + 11b = 21, поэтому b = 0 или b = 1. При b = 0 имеем a = 21 и n = 24; при b = 1 имеем a = 10 и n = 15. Оба варианта реализуются.
Значение 24 уже учтено в первом случае, а 15 — новое. Все случаи разобраны, поэтому всего существует 13 + 1 = 14 значений n. Ответ: 14.