Над парами целых чисел проводится операция: из пары получается пара .
а) Можно ли из какой-то пары получить пару ?
б) Верно ли, что если пара может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?
в) Зададим расстояние между парами целых чисел и выражением . Найдите наименьшее расстояние от пары до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Возьмём пару (1; 2). По условию она переходит в пару (3·1 + 2; 3·2 − 1) = (5; 5).
Ответ: да.
б) Пусть пара (c; d) получена из целочисленной пары (a; b). Тогда c = 3a + b, d = 3b − a.
Применим операцию к целочисленной паре (−b; a). Получим (−3b + a; 3a + b) = (−d; c), что и требовалось доказать.
Ответ: да.
в) Для любой полученной пары (c; d) имеем c + 3d = (3a + b) + 3(3b − a) = 10b. Следовательно, c + 3d делится на 10, а c + d — чётное число.
Обозначим расстояние до (9; 2) через R = |c − 9| + |d − 2|. Для любого целого k числа |k| и k имеют одинаковую чётность. Поэтому R имеет ту же чётность, что (c − 9) + (d − 2) = c + d − 11, то есть R нечётно.
Если R < 3, то R = 1. На расстоянии 1 от (9; 2) находятся только пары (8; 2), (10; 2), (9; 1), (9; 3).
Значения c + 3d для этих пар равны соответственно 14, 16, 12, 18. Ни одно не делится на 10, поэтому ни одна из этих пар не может быть получена данной операцией. Значит, R ≥ 3.
Из пары (3; 2) получается (11; 3). Расстояние от неё до (9; 2) равно |11 − 9| + |3 − 2| = 3. Таким образом, нижняя оценка достигается.
Ответ: 3.