На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Рассмотрим числа 6, 8, 9, 10, 11.
Наименьшее произведение двух различных чисел равно 6 · 8 = 48 > 45, а наибольшее равно 10 · 11 = 110 < 120. Поэтому все произведения удовлетворяют условию.
Ответ: да.
б) Предположим, что записаны шесть чисел a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ < a₆.
Если a₃ ≥ 9, то a₅ ≥ 11 и a₆ ≥ 12. Тогда a₅a₆ ≥ 132, что противоречит условию.
Следовательно, a₃ ≤ 8. Поскольку числа различные и натуральные, a₂ ≤ 7, a₁ ≤ 6. Поэтому a₁a₂ ≤ 42, что также противоречит условию.
Ответ: нет.
в) Обозначим четыре числа через a < b < c < d.
Если a ≤ 5, то из ab > 45 следует 5b > 45, поэтому b ≥ 10. Тогда c ≥ 11, d ≥ 12 и cd ≥ 132 — противоречие.
Значит, a ≥ 6. Если a = 6, то 6b > 45, откуда b ≥ 8, c ≥ 9, d ≥ 10. Поэтому сумма не меньше 6 + 8 + 9 + 10 = 33.
Если a ≥ 7, то b ≥ 8, c ≥ 9, d ≥ 10, поэтому сумма не меньше 34.
Оценка 33 достигается на числах 6, 8, 9, 10: наименьшее произведение равно 48 > 45, наибольшее — 90 < 120.
Ответ: 33.