Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ.
Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:
3x + 1 > 0, x ≠ 0, (24x + 1)/(24x) > 0.
Второй аргумент 1/(72x²) + 1 положителен при любом x ≠ 0.
Методом интервалов получаем (24x + 1)/(24x) > 0 при x ∈ (−∞; −1/24) ∪ (0; +∞).
Пересекая с условием x > −1/3, находим ОДЗ: (−1/3; −1/24) ∪ (0; +∞).
б) Равносильные преобразования.
На ОДЗ объединим сумму логарифмов в логарифм произведения. Поскольку основание 5 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно:
(3x + 1)(1/(72x²) + 1) ≥ 1/(24x) + 1.
Умножим обе части на положительное число 72x²:
(3x + 1)(72x² + 1) ≥ 3x + 72x².
После раскрытия скобок получаем 216x³ + 1 ≥ 0, то есть (6x + 1)(36x² − 6x + 1) ≥ 0.
в) Метод интервалов и границы.
36x² − 6x + 1 = (6x − 1/2)² + 3/4 > 0, поэтому знак произведения определяется множителем 6x + 1.
Слева от −1/6 произведение отрицательно, справа положительно; точка −1/6 включается, так как неравенство нестрогое.
Получаем x ∈ [−1/6; +∞). Пересекаем этот промежуток с ОДЗ.
Точка −1/6 принадлежит ОДЗ, а точки −1/24 и 0 исключены из ОДЗ.
Ответ: [−1/6; −1/24) ∪ (0; +∞).