Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
Аргумент логарифма должен быть положительным: 25 − x² > 0.
Следовательно, ОДЗ: −5 < x < 5.
Положим t = log₂(25 − x²). Тогда исходное неравенство равносильно неравенству
t² − 7t + 12 ≥ 0, то есть (t − 3)(t − 4) ≥ 0.
б) Метод интервалов и обратная замена.
Нули произведения: t = 3 и t = 4.
На интервалах (−∞; 3) и (4; +∞) произведение положительно, на (3; 4) — отрицательно; нули включаются.
Поэтому t ≤ 3 или t ≥ 4.
Так как основание 2 > 1, логарифмическая функция возрастает, и переходы ниже равносильны.
Первый случай: log₂(25 − x²) ≤ 3, то есть 0 < 25 − x² ≤ 8.
Отсюда 17 ≤ x² < 25, поэтому x ∈ (−5; −√17] ∪ [√17; 5).
Второй случай: log₂(25 − x²) ≥ 4, то есть 25 − x² ≥ 16.
Отсюда x² ≤ 9, поэтому x ∈ [−3; 3]; весь этот отрезок входит в ОДЗ.
в) Граничные точки и ответ.
Точки ±√17 и ±3 соответствуют равенству в исходном неравенстве и включаются.
Точки ±5 исключаются, поскольку аргумент логарифма равен нулю.
Объединяя полученные промежутки, получаем:
Ответ: (−5; −√17] ∪ [−3; 3] ∪ [√17; 5).