Найдите все значения , при которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильное преобразование.
На заданном отрезке тангенс определён только при −π/2 < x < π/2.
По формуле разности квадратов исходное уравнение равносильно равенству 4(2x + a)(1 + tg x) = 0.
Следовательно, 2x + a = 0 или tg x = −1.
б) Исследование корней.
На интервале (−π/2; π/2) тангенс строго возрастает, поэтому уравнение tg x = −1 имеет ровно один корень x = −π/4 при любом a.
Линейное уравнение даёт x = −a/2. Этот корень принадлежит ОДЗ тогда и только тогда, когда −π/2 < −a/2 < π/2, то есть −π < a < π.
При a ≤ −π или a ≥ π линейное уравнение не даёт допустимого корня, поэтому исходное уравнение имеет единственное решение −π/4. При a = ±π точки x = ∓π/2 исключены из ОДЗ.
в) Случай −π < a < π.
Оба найденных корня допустимы. Решение единственно тогда и только тогда, когда они совпадают: −a/2 = −π/4, откуда a = π/2.
При остальных a из (−π; π) имеются два различных решения. Все случаи параметра рассмотрены.
Ответ: a ∈ (−∞; −π] ∪ {π/2} ∪ [π; +∞).