Задание 19 ЕГЭ по профильной математике № 093D22

а) Равносильное преобразование. Правая часть неотрицательна, поэтому x ≥ a. Положим t = x − a, тогда t ≥ 0 и x = t + a.

Исходное уравнение принимает вид |t² + (2a − 6)t + 2a(a − 1)| = 2t.

При t ≥ 0 оно равносильно совокупности двух уравнений: t² + (2a − 8)t + 2a(a − 1) = 0 или t² + (2a − 4)t + 2a(a − 1) = 0.

Обозначим их соответственно (1) и (2). Общий корень этих уравнений удовлетворяет 4t = 0. Поэтому совпадение корней возможно только при t = 0, a = 0 или a = 1.

Ответ к пункту а): требуется найти число различных неотрицательных корней совокупности (1), (2).

б) Подсчёт корней. Четверти дискриминантов равны d₁ = 25 − (a + 3)² и d₂ = 5 − (a + 1)². По теореме Виета произведение корней каждого уравнения равно 2a(a − 1), суммы равны 8 − 2a и 4 − 2a.

Если a < 0, произведения и суммы положительны. Поэтому каждое уравнение имеет два положительных корня при d > 0, один при d = 0 и ни одного при d < 0.

При a < −8 корней нет; при a = −8 имеется один корень; при −8 < a < −1 − √5 имеются два корня; при a = −1 − √5 — три; при −1 − √5 < a < 0 — четыре. Совпадений при a < 0 нет.

При a = 0 уравнения имеют корни {0; 8} и {0; 4}, поэтому различных корней три.

При 0 < a < 1 произведение корней отрицательно: каждое уравнение имеет ровно один положительный корень. Они различны, поэтому получаем два корня.

При a = 1 множества корней равны {0; 6} и {0; 2}; различных корней три.

При 1 < a < 2 произведения и суммы положительны, причём d₁ > 0. Уравнение (1) имеет два положительных корня. Уравнение (2) имеет два положительных корня при a < √5 − 1, один при a = √5 − 1 и ни одного при a > √5 − 1.

Следовательно, при 1 < a < √5 − 1 всего четыре корня, при a = √5 − 1 — три, при √5 − 1 < a < 2 — два.

При a = 2 уравнение (1) имеет единственный корень t = 2, а (2) действительных корней не имеет. При a > 2 оба дискриминанта отрицательны, корней нет.

Ответ: a ∈ (−8; −1 − √5) ∪ (0; 1) ∪ (√5 − 1; 2).