Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной.
Обозначим f(x) = 4x + |x − a| − |3x + 1| и положим t = f(x). Тогда t² − (a + 1)t + 1 = 0.
Дискриминант D = (a + 1)² − 4 = (a − 1)(a + 3). При a < −3 или a > 1 имеются два различных значения t; при a = −3 или a = 1 — одно; при −3 < a < 1 действительных значений t нет.
б) Число решений уравнения f(x) = t.
Если a ≤ −1/3, раскрытие модулей даёт: f(x) = 6x + a + 1 при x ≤ a; f(x) = 8x − a + 1 при a ≤ x ≤ −1/3; f(x) = 2x − a − 1 при x ≥ −1/3.
Эта непрерывная функция строго возрастает: коэффициенты при x на всех непустых промежутках положительны. Её значения заполняют всю числовую прямую, поэтому каждому t соответствует ровно один x.
Если a > −1/3, то f(x) = 6x + a + 1 при x ≤ −1/3; f(x) = a − 1 при −1/3 ≤ x ≤ a; f(x) = 2x − a − 1 при x ≥ a.
Следовательно, при t ≠ a − 1 уравнение f(x) = t имеет ровно один корень, а при t = a − 1 — бесконечно много корней, весь отрезок [−1/3; a].
в) Разбор значений параметра.
При a < −3 два различных значения t дают ровно два различных корня x. При a = −3 значение t = −1 даёт один корень.
При −3 < a < 1 корней нет. При a = 1 единственное значение t = 1 отличается от значения постоянного участка a − 1 = 0, поэтому корень один.
При a > 1 получаем ровно два корня, если ни одно из двух значений t не равно a − 1. Проверим это подстановкой в квадратное уравнение:
(a − 1)² − (a + 1)(a − 1) + 1 = 3 − 2a.
Равенство нулю выполняется только при a = 1,5; тогда исходное уравнение имеет бесконечно много корней. Все остальные a > 1 подходят.
Ответ: a ∈ (−∞; −3) ∪ (1; 1,5) ∪ (1,5; +∞).