В прямоугольном параллелепипеде через середину диагонали проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали,
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат с началом A и осями вдоль AB, AD, AA₁. Тогда A(0; 0; 0), C₁(5; 3; 4), D₁(0; 3; 4).
Середина диагонали AC₁ — точка M(5/2; 3/2; 2). Вектор AC₁ = (5; 3; 4) перпендикулярен плоскости α, поэтому её уравнение имеет вид 5(x − 5/2) + 3(y − 3/2) + 4(z − 2) = 0.
После упрощения получаем: 5x + 3y + 4z = 25.
Для точки D₁ левая часть равна 5 · 0 + 3 · 3 + 4 · 4 = 25. Следовательно, D₁ принадлежит α.
Ответ: D₁ ∈ α, что и требовалось доказать.
б) Обозначим точку пересечения α с ребром A₁B₁ через K. На этом ребре y = 0, z = 4, причём 0 ≤ x ≤ 5.
Подставим эти координаты в уравнение плоскости: 5x + 16 = 25, откуда x = 9/5. Значение находится между 0 и 5, поэтому K лежит внутри ребра.
Следовательно, A₁K = 9/5, KB₁ = 5 − 9/5 = 16/5.
A₁K : KB₁ = (9/5) : (16/5) = 9 : 16.
Ответ: 9 : 16, считая от вершины A₁.