В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки и ,
а на окружности другого основания точки и , причём образующая цилиндра, а отрезок пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если , , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Обозначим через O центр основания, содержащего A и B, а через C — ортогональную проекцию C₁ на плоскость этого основания. Тогда C лежит на окружности основания, а CC₁ — образующая цилиндра.
При ортогональном проектировании отрезок AC₁ переходит в AC, а точка его пересечения с осью цилиндра — в O. Следовательно, O лежит на AC.
Таким образом, хорда AC проходит через центр окружности и является диаметром. Вписанный угол ABC, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому AB ⟂ BC.
Через B проведём прямую l, параллельную CC₁. Образующие перпендикулярны плоскости основания, поэтому l ⟂ AB.
Прямые BC и l пересекаются и лежат в плоскости BCC₁. Прямая AB перпендикулярна обеим этим прямым, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ (BCC₁).
Следовательно, AB ⟂ BC₁, то есть ∠ABC₁ = 90°.
Ответ: угол ABC₁ прямой, что и требовалось доказать.
б) Решение. Четырёхугольник BB₁C₁C — прямоугольник: BB₁ и CC₁ — равные параллельные образующие, перпендикулярные основаниям. Поэтому BC = B₁C₁ = 10.
Как доказано в пункте а), AC — диаметр основания и ∠ABC = 90°. По теореме Пифагора AC² = AB² + BC² = 7² + 10² = 149.
Если R — радиус цилиндра, то AC = 2R, следовательно, R² = 149/4.
Высота цилиндра равна образующей: H = BB₁ = 24. По формуле объёма цилиндра V = πR²H = π · (149/4) · 24 = 894π.
Ответ: 894π.