В треугольнике угол равен отрезки и высота
и медиана соответственно, причём точка лежит на отрезке
Отрезок высота треугольника а прямые и пересекаются в точке Известно, что луч биссектриса угла
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Поскольку AH ⟂ BC, в прямоугольном треугольнике AHC угол CAH равен 90° − 30° = 60°.
AM — биссектриса угла CAH, поэтому ∠CAM = ∠MAH = 30°.
Так как M лежит на BC, угол ACM равен 30°. Следовательно, в треугольнике AMC углы CAM и ACM равны, откуда AM = MC.
По условию AM — медиана, поэтому MB = MC. Таким образом, MA = MB = MC.
Значит, точки A, B и C лежат на окружности с центром M, а BC — её диаметр. Вписанный угол BAC, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Ответ а): треугольник ABC прямоугольный, ∠BAC = 90°.
б) Нахождение площади.
В прямоугольном треугольнике ABC катет AB лежит против угла 30°, поэтому BC = 2AB = 16, а CM = BC/2 = 8.
По теореме Пифагора AC = √(16² − 8²) = 8√3.
В прямоугольном треугольнике AHC получаем CH = AC · cos 30° = 8√3 · √3/2 = 12.
Точки расположены в порядке B, H, M, C, поэтому HM = CH − CM = 12 − 8 = 4.
Прямые MF и AC перпендикулярны, а угол между AC и BC равен 30°. Поэтому острый угол между MF и BC равен 60°. В прямоугольном треугольнике MHF это угол HMF.
Следовательно, HF = HM · tg 60° = 4√3. Поскольку FH ⟂ CM, отрезок FH является высотой к прямой, содержащей основание CM треугольника CMF.
S(CMF) = CM · HF/2 = 8 · 4√3/2 = 16√3.
Ответ б): 16√3.