а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем:
2cos x(1 − cos²x) − √3 sin²x = 0.
По основному тригонометрическому тождеству 1 − cos²x = sin²x. Получаем равносильное уравнение:
sin²x(2cos x − √3) = 0.
Произведение равно нулю, если sin x = 0 или cos x = √3/2.
Отсюда x = πk или x = ±π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ: x = πk, k ∈ Z; x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = πk: −7π/2 ≤ πk ≤ −2π, откуда −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения k: −3, −2; получаем −3π и −2π.
Для x = π/6 + 2πk: −7π/2 ≤ π/6 + 2πk ≤ −2π, откуда −11/6 ≤ k ≤ −13/12. Целых значений k нет.
Для x = −π/6 + 2πk: −7π/2 ≤ −π/6 + 2πk ≤ −2π, откуда −5/3 ≤ k ≤ −11/12. Подходит только k = −1; получаем −13π/6.
Ответ: −3π; −13π/6; −2π.