а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x. По формуле приведения cos(π − x) = −cos x.
Положим t = 16^(cos x), t > 0. Тогда 16^(−cos x) = 1/t, и уравнение принимает вид t + 1/t = 17/4.
Умножая на 4t > 0, получаем равносильное уравнение 4t² − 17t + 4 = 0.
Разложим на множители: (4t − 1)(t − 4) = 0. Следовательно, t = 1/4 или t = 4.
Поскольку 4 = 16^(1/2), а 1/4 = 16^(−1/2), получаем cos x = 1/2 или cos x = −1/2.
Первое уравнение даёт x = ±π/3 + 2πn, второе — x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z. Объединяя эти серии, получаем x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.
Ответ а): ±π/3 + πk, k ∈ Z.
б) Для серии x = π/3 + πk условие принадлежности отрезку имеет вид π ≤ π/3 + πk ≤ 5π/2.
Делим на π > 0 и вычитаем 1/3: 2/3 ≤ k ≤ 13/6. Целые значения: k = 1, 2. Получаем x = 4π/3 и x = 7π/3.
Для серии x = −π/3 + πk получаем π ≤ −π/3 + πk ≤ 5π/2, откуда 4/3 ≤ k ≤ 17/6.
Единственное целое значение — k = 2, которому соответствует x = 5π/3.
Ответ б): 4π/3; 5π/3; 7π/3.