а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x. Поскольку 3^x > 0, умножение обеих частей на 3^x является равносильным переходом:
3^(4x) − 4·3^(2x + 2) + 3⁵ = 0.
Введём t = 3^(2x), где t > 0. Получим квадратное уравнение:
t² − 36t + 243 = 0.
(t − 9)(t − 27) = 0, поэтому t = 9 или t = 27. Оба значения положительны.
3^(2x) = 3² или 3^(2x) = 3³. Показательная функция с основанием 3 строго возрастает, поэтому 2x = 2 или 2x = 3.
Ответ: 1; 1,5.
б) Проверим принадлежность каждого корня отрезку [log₇ 4; log₇ 16].
Так как 4 < 7 < 16 и логарифмическая функция с основанием 7 возрастает, log₇ 4 < 1 < log₇ 16. Значит, корень 1 принадлежит отрезку.
Для второго корня сравним 7^(3/2) и 16. Оба числа положительны, а их квадраты удовлетворяют неравенству 7³ = 343 > 256 = 16².
Следовательно, 7^(3/2) > 16, поэтому 3/2 > log₇ 16. Корень 1,5 лежит правее отрезка.
Ответ: 1.