Решите неравенство .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ: x > 0; log₈(x/64) ≠ 0; log₈x ≠ 0; (log₈x)² − log₈(x²) ≠ 0.
Положим t = log₈x. При x > 0 справедливы равенства log₈(x/64) = t − 2 и log₈(x²) = 2t.
Следовательно, ОДЗ принимает вид t ≠ 0, t ≠ 2, или x > 0, x ≠ 1, x ≠ 64.
б) На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству t/(t − 2) ≥ 2/t + 3/(t² − 2t).
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём к общему знаменателю:
(t² − 2(t − 2) − 3)/(t(t − 2)) ≥ 0.
После упрощения получаем равносильное неравенство (t − 1)²/(t(t − 2)) ≥ 0, где t ≠ 0, t ≠ 2.
в) Метод интервалов. Числитель положителен при t ≠ 1 и равен нулю при t = 1. Знаменатель положителен при t < 0 и t > 2, отрицателен при 0 < t < 2.
Поэтому дробь положительна на (−∞; 0) и (2; +∞), отрицательна на (0; 1) и (1; 2), равна нулю при t = 1. Точки 0 и 2 исключены по ОДЗ.
Получаем t ∈ (−∞; 0) ∪ {1} ∪ (2; +∞).
Так как основание логарифма 8 > 1, возвращаемся к x: t < 0 ⇔ 0 < x < 1; t = 1 ⇔ x = 8; t > 2 ⇔ x > 64.
Ответ: (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; +∞).