В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т параллельно прямым и проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) В грани ADC через T проведём TU ∥ AC, где U лежит на DC. В грани ADB проведём TW ∥ DB, где W лежит на AB. Обе прямые принадлежат заданной плоскости.
По подобию треугольников DTU и DAC получаем DU/DC = DT/DA = 1/3, поэтому CU/CD = 2/3.
В грани CDB через U проведём UV ∥ DB, где V лежит на CB. Эта прямая также принадлежит плоскости сечения. По подобию треугольников CUV и CDB имеем CV/CB = CU/CD = 2/3.
По подобию треугольников AWT и ABD получаем AW/AB = AT/AD = 2/3, откуда BW/BA = 1/3. Также BV/BC = 1/3.
Следовательно, WV ∥ AC по обратной теореме Фалеса. Сечение — четырёхугольник TUVW: TU ∥ WV ∥ AC и TW ∥ UV ∥ BD. Значит, это параллелограмм.
Докажем перпендикулярность его соседних сторон. Пусть K — середина AC. В равнобедренных треугольниках ABC и ADC медианы BK и DK являются высотами, поэтому AC ⟂ BK и AC ⟂ DK.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC ⟂ (BKD). Следовательно, направление AC перпендикулярно направлению BD, лежащей в этой плоскости.
Так как TU ∥ AC, а UV ∥ BD, угол TUV прямой. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: сечение TUVW — прямоугольник.
б) Из подобия треугольников DTU и DAC: TU/AC = DT/DA = 1/3. Следовательно, TU = 6/3 = 2.
Из подобия треугольников CUV и CDB: UV/DB = CU/CD = 2/3. Поскольку боковое ребро DB = 5, получаем UV = 10/3.
Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: S = TU · UV = 2 · 10/3 = 20/3.
Ответ: 20/3.