Точка середина боковой стороны трапеции . На стороне взяли точку так, что прямые и параллельны. Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение оснований трапеции и , если площадь треугольника составляет площади трапеции .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим через F точку пересечения прямых AE и BC. Поскольку AD ∥ BC, а E лежит внутри CD, точка F расположена на продолжении BC за C.
Треугольники ADE и FCE равны по стороне и двум прилежащим углам: DE = CE по условию, ∠AED = ∠FEC как вертикальные, ∠ADE = ∠FCE вследствие AD ∥ CF.
Поэтому AE = EF и CF = AD. Значит, E — середина AF.
Треугольники BKC и BAF подобны по двум углам: BK лежит на BA, BC лежит на BF, KC ∥ AF. Следовательно, BK/BA = BC/BF.
Из подобия треугольников BKO и BAE получаем KO/AE = BK/BA, а из подобия треугольников BCO и BFE получаем CO/FE = BC/BF.
Правые части равны, и AE = FE, поэтому KO = CO.
Ответ: равенство доказано.
б) Пусть BC = b, AD = a, высота трапеции равна h. Тогда BF = BC + CF = a + b.
Из установленного подобия треугольников BKC и BAF следует BK/BA = b/(a + b).
Расстояния от K и A до прямой BC относятся как BK/BA: это следует из подобия прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами из K и A к BC.
Поэтому высота треугольника BCK, проведённая к BC, равна hb/(a + b), а его площадь равна b²h/(2(a + b)).
Площадь трапеции равна (a + b)h/2. Следовательно, S(BCK)/S(ABCD) = b²/(a + b)² = 9/100.
Поскольку a и b положительны, b/(a + b) = 3/10. Отсюда 10b = 3a + 3b, то есть 7b = 3a.
Таким образом, BC/AD = b/a = 3/7.
Ответ: 3/7.