В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , .
а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
∠ABC = 180° − 60° − 45° = 75°. Все углы треугольника острые, поэтому H лежит на стороне BC.
В прямоугольном треугольнике AHC угол C равен 45°, следовательно, HC = AH. В треугольнике ABH получаем BH = AH/tg 75° < AH = HC. Поэтому точки B, H, A₁, C расположены именно в таком порядке.
B₁ — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника AHC, поэтому B₁H = B₁C. Значит, ∠B₁HC = ∠HCB₁ = 45°. Поскольку лучи HA₁ и HC совпадают, ∠B₁HA₁ = 45°.
По теореме о средней линии C₁B₁ ∥ BC и C₁A₁ ∥ AC. Следовательно, ∠B₁C₁A₁ = ∠BCA = 45°.
Точки H и C₁ лежат по одну сторону от прямой A₁B₁: эта прямая параллельна AB и отделяет вершину C от стороны AB. Поэтому из равенства ∠B₁HA₁ = ∠B₁C₁A₁ следует по обратной теореме о вписанных углах, что A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.
Ответ: а) утверждение доказано.
б) Вычисление.
По теореме синусов AC = BC · sin 75°/sin 60° = 2√3 · ((√6 + √2)/4)/(√3/2) = √6 + √2.
Из прямоугольного треугольника AHC: HC = AC · cos 45° = (√6 + √2) · √2/2 = √3 + 1.
A₁C = BC/2 = √3. Учитывая порядок H, A₁, C, получаем A₁H = HC − A₁C = √3 + 1 − √3 = 1.
Ответ: б) 1.