Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает продолжение стороны за точку в точке и пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим ∠BAD = α. Так как E лежит на продолжении AD за D, то ∠BAE = α.
Лучи CB и AE противоположно направлены, как и лучи CK и AB, вследствие параллельности противоположных сторон параллелограмма. Поэтому ∠BCK = ∠BAD = α.
Точки A, B, C, E, K лежат на одной окружности. Вписанные углы BKE и BAE опираются на одну дугу BE, поэтому ∠BKE = ∠BAE = α.
Аналогично вписанные углы BEK и BCK опираются на одну дугу BK, поэтому ∠BEK = ∠BCK = α.
Таким образом, в треугольнике BKE углы при вершинах K и E равны. Против равных углов лежат равные стороны, следовательно, BK = BE.
Ответ: а) BK = BE, что и требовалось доказать.
б) При α = 30° из пункта а) получаем ∠BKE = ∠BEK = 30°, поэтому ∠KBE = 180° − 60° = 120°.
Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°, следовательно, ∠ABC = 180° − 30° = 150°.
Пусть R — радиус данной окружности. По расширенной теореме синусов в треугольниках BKE и ABC имеем KE = 2R sin 120° и AC = 2R sin 150°.
Поэтому KE/AC = sin 120°/sin 150° = (√3/2)/(1/2) = √3.
Ответ: б) KE : AC = √3.