Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят тыс. рублей в конце года ( ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10%.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?
При продаже бумаг в конце года t итоговая сумма составит A(t) = t² · 1,1^(25 − t) тыс. рублей, где t — целое число от 1 до 25.
Сравним соседние варианты: A(t + 1)/A(t) = (t + 1)²/(1,1t²).
Следовательно, A(t + 1) > A(t), если (t + 1)² > 1,1t², то есть t² − 20t − 10 < 0.
При 1 ≤ t ≤ 20 имеем t(t − 20) − 10 < 0, поэтому итоговая сумма возрастает.
При 21 ≤ t ≤ 24 имеем t(t − 20) − 10 ≥ 21 − 10 > 0, поэтому итоговая сумма убывает.
Значит, наибольшая сумма получится при продаже в конце 21-го года.
Ответ: 21.